Сумма корней алгебраического уравнения может быть найдена без непосредственного решения уравнения, используя свойства коэффициентов. Рассмотрим методы вычисления для разных типов уравнений.
Содержание
Сумма корней квадратного уравнения
Для уравнения вида ax² + bx + c = 0 сумма корней вычисляется по теореме Виета:
| Формула | x₁ + x₂ = -b/a |
| Пример | Для 2x² - 5x + 3 = 0 сумма корней = 5/2 |
Доказательство теоремы Виета
- Запишем квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0
- Представим его в виде: a(x - x₁)(x - x₂) = 0
- Раскроем скобки: ax² - a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂ = 0
- Сравниваем коэффициенты: -a(x₁ + x₂) = b
- Получаем: x₁ + x₂ = -b/a
Сумма корней кубического уравнения
Для уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0 сумма корней равна:
| Формула | x₁ + x₂ + x₃ = -b/a |
| Пример | Для x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 сумма корней = 6 |
Общая формула для многочлена n-й степени
Для уравнения aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0:
- Сумма всех корней: -aₙ₋₁/aₙ
- Сумма произведений корней по два: aₙ₋₂/aₙ
- Аналогично для других комбинаций
Пример для уравнения 4-й степени
| Уравнение | 2x⁴ - 8x³ + 5x² + 3x - 1 = 0 |
| Сумма корней | -(-8)/2 = 4 |
Особые случаи
Уравнения с комплексными корнями
Теорема Виета применима и для комплексных корней. Сумма сопряженных комплексных корней дает действительное число.
Кратные корни
Кратные корни учитываются в сумме соответствующее их кратности количество раз.
| Уравнение | (x-2)²(x-3) = 0 |
| Корни | 2 (кратность 2), 3 |
| Сумма | 2 + 2 + 3 = 7 |
Практическое применение
- Проверка правильности найденных корней
- Упрощение решения систем уравнений
- Анализ свойств многочленов
- Построение графиков функций
