Как найти сумму корней уравнения

Сумма корней алгебраического уравнения может быть найдена без непосредственного решения уравнения, используя свойства коэффициентов. Рассмотрим методы вычисления для разных типов уравнений.

Сумма корней квадратного уравнения

Для уравнения вида ax² + bx + c = 0 сумма корней вычисляется по теореме Виета:

Доказательство теоремы Виета

1. Запишем квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0
2. Представим его в виде: a(x - x₁)(x - x₂) = 0
3. Раскроем скобки: ax² - a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂ = 0
4. Сравниваем коэффициенты: -a(x₁ + x₂) = b
5. Получаем: x₁ + x₂ = -b/a

Сумма корней кубического уравнения

Для уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0 сумма корней равна:

Общая формула для многочлена n-й степени

Для уравнения aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0:

• Сумма всех корней: -aₙ₋₁/aₙ
• Сумма произведений корней по два: aₙ₋₂/aₙ
• Аналогично для других комбинаций

Пример для уравнения 4-й степени

Особые случаи

Уравнения с комплексными корнями

Теорема Виета применима и для комплексных корней. Сумма сопряженных комплексных корней дает действительное число.

Кратные корни

Кратные корни учитываются в сумме соответствующее их кратности количество раз.

Практическое применение

1. Проверка правильности найденных корней
2. Упрощение решения систем уравнений
3. Анализ свойств многочленов
4. Построение графиков функций